THE GREEK PHYSICS FORUM

Μία ερώτηση, γιατί δεν μπορώ να βρω την απάντηση πουθενά.

Υπάρχει κάποια ταυτότητα που να απλοποιεί το χ^ν+χ^ψ ή κάποια ιδιότητα τέλος πάντων των δυνάμεων που να μας διευκολύνει στο να απλοποιήσουμε το παραπάνω;

πχ. Σε ένα πρόβλημα που συνάντησα λέει να βρούμε το λ ώστε οι f(x)=(λ^3-1)χ+80 και f(x)=3λ(λ-1)χ-8 να είναι παράλληλες. Και λέω:

Για να είναι παράλληλες πρέπει α1=α2 δηλ.:
λ^3-1=3λ(λ-1)
λ^3-1=3λ^2-3λ
λ^3-3λ^2+3λ=1
και μετά??? = 1

Σε πάρα πολλά προβλήματα καταλήγω σε ισότητες του τύπου χ^ν+χ^ψ ίσον κάτι και ενώ πρέπει να απλοποιηθούν και να πω χ=τόσο, απ' ότι έχω δει δεν μπορεί να γίνει κάτι. Υπάρχει κάτι συγκεκριμένο που γίνεται σε αυτήν την περίπτωση;

Κανεις παραγοντοποιηση, στο παραδειγμα που δινεις:

λ^3-3λ^2+3λ-1=0

χρησιμοποιεις την ταυτοτητα του τελειου κυβου

(λ-1)^3=0 => λ=1

Λίγο πιο γενικά, οι εξισώσεις που καταλήγεις λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις ν-οστού βαθμού, όπου x^ν είναι η μεγαλύτερη δύναμη που εμφανίζεται στην εξίσωση.

Οι εξισώσεις αυτές έχουν ν λύσεις για το x. Κάποιες μπορεί να είναι ίδιες, κάποιες όχι, εν προκειμένω έχουμε μια λύση πολλαπλότητας 3.

Στην πράξη, δεν είναι πάντα εύκολο να βρεις όλες τις λύσεις γρήγορα π.χ. σε εξίσωση 5ου βαθμού. Αυτό που κάνει κανείς τότε [χωρίς να χρησιμοποιήσει mathematica ] είναι να βρει μια εύκολη λύση (συνήθως x=1, x=-1 ή κάτι τέτοιο) και να κάνει παραγοντοποίηση.

Στο παράδειγμα που έδωσες, ο Kuan βρήκε π.χ. τη λύση λ=1. Αν δε βλέπεις αμέσως οτι είναι τέλειος κύβος, το πας σιγά σιγά παραγοντοποιώντας τη λύση λ=1:

(λ-1)(λ^2-2λ+1)=0.

Ας μη ξεχνάμε γενικά ότι υπάρχει και το σχήμα Horner....

Τι είναι αυτό; Για δώσε καμιά λεπτομέρεια!

λ^3-1=3λ(λ-1)
(λ-1)(λ^2+λ+1)=3λ(λ-1)
(λ-1)(λ^2+λ+1)-3λ(λ-1)=0
(λ-1)(λ^2-2λ+1)=0
λ=1

LOL

http://www.youtube.com/watch?v=XRrww9HWmtk

Ρίξε μια ματιά στο παραπάνω λινκ. Το σχήμα Horner χρησιμοποιείται για να κάνουμε διαίρεση πολυωνύμων. Μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε λοιπόν στην παραγοντοποίηση πολυωνύμων ότι βαθμού θέλουμε με τον εξής τρόπο:
Διαιρούμε με σχήμα Horner το πολυώνυμο μας με ένα παράγοντα χ-ρ όπου ρ δοκιμάζουμε να βάλουμε διαιρέτη του σταθερού όρου του πολυωνύμου. Σκοπός μας είναι να μας βγει τέλεια η διαίρεση, οπότε μετά να μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο μας ως γινόμενο παραγόντων. Ο ένας παράγοντας είναι ο διαιρέτης (χ-ρ) και ο άλλος είναι το πηλίκο (αυτό το βρίσκουμε απο τους συντελεστές που μας έχει δώσει το Horner).
Δεν ξέρω αν ήμουν πλήρως κατανοητός, στο βίντεο το περιγράφει αρκετά καλά.

Γενικά είναι πιο σίγουρος τρόπος απ' το να ψάχνεις τη προφανή ρίζα, ειδικά σε πολυώνυμα > από 3ου βαθμού.

Πάντως προφανώς η σίγουρη-εύκολη λύση που ζητάει η Tsaprazi παραπάνω, είναι η λύση με την ταυτότητα του (α+β)^3.
Όλα τα υπόλοιπα είναι πολύ γενικότερες λύσεις.

Πώς βγάζουμε κοινό παράγοντα; Δεν εννοώ πως κάνουμε παραγοντοποίηση, αλλά πώς καταλαβαίνουμε ποιος είναι ο κοινός παράγοντας σε μία παράσταση έτσι ώστε να προχωρήσουμε και να την αναλύσουμε σε γινόμενο πρώτων παραγόντων;

Πρέπει να βρεις μια λύση. Τότε παραγοντοποιείται ως (λ-λ0)(....)=0.

Για παράδειγμα, θεώρησε το απλό τριώνυμο λ^2 - 4λ + 3 = 0. Ας πούμε οτι θέλουμε να το παραγοντοποιήσουμε, χωρίς να βρούμε όλες τις ρίζες. (το παράδειγμα είναι για παιδαγωγικούς λόγους, μην πεταχτεί κανείς για διακρίνουσες ).

Μια λύση που φαίνεται κατευθείαν έιναι η λ = 1.

Άρα η εξίσωση γράφεται
(λ - 1)( κάτι ) = 0.

Τώρα για το κάτι, το χτίζουμε σιγά σιγά. Αφού έχουμε πολυώνυμο 2ου βαθμού, το κάτι δε μπορεί παρά να είναι αλ + β. Αν ήταν μεγαλύτερου βαθμού θα υπήρχε και όρος γλ^2 κ.ο.κ.

Όμως θα πρέπει αλ * λ = λ^2. Συνεπώς α=1. Ομοίως και για το β.

Αν ήταν 3ου βαθμού, για τη δύναμη λ^2 έχεις δύο συνεισφορές π.χ.

(λ-1)(αλ^2 + βλ + γ) = 0.

Οι όροι λ^2 είναι -αλ^2 + βλ^2. Άρα -α + β θα πρέπει να ισούται με οτι είχες αρχικά!

Προσπάθησε να το κάνεις για πλάκα στο αρχικό πολυώνυμο που έγραψες στο θέμα, ή επινόησε κάποιο δικό σου (τσέκαρέ το για λύσεις πρώτα ). Ελπίζω να μη σε μπέρδεψα χειρότερα..

Η αλήθεια είναι ότι, επειδή τώρα ξεκίνησα, έχω μπερδευτεί.
Νομίζω πως είναι δύσκολο να φανταστείς πώς θα ήταν μία παράσταση αν επιμεριζόταν, οπότε πρέπει να υπάρχει κάποιος συγκεκριμένος τρόπος να βρεις τον κοινό παράγοντα.

Κάποια πολύ απλά βέβαια μπορώ να τα κάνω, αλλά δε βρίσκω τη γενική αρχή πίσω από όλο αυτό, οπότε σε πιο περίπλοκα μπερδεύομαι.

Δεν υπαρχει γενικη αρχη.

Ναι, αλλά δε γίνεται να φανταζόμαστε πως θα ήταν μια παράσταση αν επιμεριζόταν.

πχ. Β= 9χ^2ψ^4-25=(3χψ^2-5)(3χψ^3+5)

Γιατί θα έπρεπε να μπορώ να το φανταστώ;

edit: Το κατάλαβα τελικά.